少? 解 当产量从1(百吨)增加到2(百吨)时，总收益改变量为2 四、结束语 在社会的不断进步中，数学与社会的关系也越来越密切，定积分作为高等数学中一个重要的内容，它也是解决很多问题的有效工具．利用定积分解决几何和经济等一系列疑难问题，显得得心应手得多，这也是数学应用性的具体表现． 一、定积分在几何和经济问题中的引入 我国古代数学家刘徽利用“割圆术”，以圆的内接多边形面积来“逼近”圆的面积．早在公元前三世纪，阿基米德就研究过一般的这类问题，他用“穷竭”的方法计算了抛物线与直线围成的弓形以及圆等图形的面积．这些古代数学家的想法基本上是一致的，即为了求一平面区域的面积，先考虑该区域中的一个多边形，算出它的面积，把该值作为该区域面积的一个近似值;然后，再选择该区域内的另一个多边形，它包含前一个多边形，从而得到该区域面积的一个更佳的近似值，依次下去，“穷竭”整个区域． 在这里，我们得到该区域面积一系列的近似值S1，S2，…，Sn．当n无限增大时，把Sn的极限看成该区域的面积．这种方法体现了积分的思想．尽管古代人们对函数、极限等概念尚不清楚，但到17世纪时，人们已用这种思想计算出了许多平面区域的面积．只是在那个时代，对于每一个区域，其计算都依赖于其特定问题的特殊技巧． 任意曲线所围成的平面图形的面积计算，依赖于曲边梯形的面积计算．所以，我们先讨论曲边梯形的面积． 在直角坐标系中，由连续曲线y=f(x)(f(x)≥0)，直线x=a，x=b和y=0(即x轴)所围成的平面图形AabB称为曲边梯形，如图1所示．其中，曲线弧)AB、线段ab分别称为曲边梯形的曲边和底边． 图1 在科学技术和经济管理等领域中，如果我们撇开各类问题的实际含义，抓住它们在数量关系上的共同本质和特征，加以概括和抽象，这样就引出定积分的概念． 二、定积分基本性质 根据定积分的定义可知，如果当n无限增大，而△xi中最大者Δx→0时，极限存在，则称函数f(x)在［a，b］上是可积的，并称此极限值为函数f(x)在［a，b］上的定积分，记作 按定积分的定义，曲边梯形的面积表示式可写 可见，对于f(x)≥0，定积分的数值能解释为一个曲边梯形的面积，这就是定积分的几何意义． 可以证明定积分具有以下性质: 性质1:被积函数中的常数因子可以提到积分号外面，即 性质2:两个函数和(差)的积分，等于它们积分的和(差)．即 性质3:(定积分的可加性)对任意的三个a，b，c，总有 三、定积分在几何和经济工作中的应用 上述我们探讨了定积分的概念，并介绍了它的基本性质与计算方法，下面我们将定积分知识用于简单的应用问题的分析与计算． 1．平面图形的面积 根据定积分的几何意义，我们已经有: (1)连续曲线y=f(x)(f(x)≥0)与直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形(图2)的面积为 由于面积总是正的，如果在［a，b］上函数f(x)≤0，定积分是负值，则不可能表示为一个曲边梯形的面积，但我们可以把函数乘以负号(即－f(x)≥0)化为(1)中的情形．所以有: (2)连续曲线y=f(x)(f(x)≤0)与直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形(图3)的面积为A= (3)对于在［a，b］上函数f(x)有时取正值，有时取负值时，曲线y=f(x)与直线x=a，x=b及x轴所围成区域(图4)的面积为A=A1－A2+A3= 例1 求曲线y=x2与直线x=－1，x=1及x轴所围区域的面积． 解 画草图，如图5所示．A= 2．定积分在经济中的应用举例 在经济学中，习惯上用“平均”和“边际”这两个概念来描述一个经济变量y对于另一个经济变量x的变化情况．“平均”概念表示因变量y在自变量x处有改变量Δx，y有相应的改变量Δy时的平均值显然，平均值随Δx的变化而变化．而“边际”概念表示在自变量x的边缘处因变量y的变化情况，即当x的改变量Δx趋于0时，平均值的极限，按导数的定义可知，这正是y关于x的导数． 定义:设函数y=f(x)可导，称导函数f'(x)为f(x)的边际函数． 这不过是经济学上对导数的另一种称谓．所以对经济函数而言，因变量对自变量的导数统称为“边际函数”．例如 (1)边际成本:成本函数C(Q)对产量Q的变化率C'(Q)称为边际成本，记作MC(Q); (2)边际收益:收益函数R(Q)对产量Q的变化率R'(Q)称为边际收益，记作MR(Q); (3)边际利润:利润函数L(Q)对产量Q的变化率L'(Q)称为边际利润，记作ML(Q)． 实际上，在进行经济分析时，还常常遇到相反的问题，即根据边际收益、边际成本、边际利润以及产量的变动区间，计算总成本、总收益和总利润的变化． 当产量Q由a变化到b时，由于销售收

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